介绍
若
A
0
,
A
1
,
⋯
,
A
l
A_0, A_1, \cdots, A_l
A0,A1,⋯,Al 为
l
l
l 个
n
×
n
n \times n
n×n 复矩阵，
l
≥
0
,
A
l
≠
0
l \ge 0, A_l \ne 0
l≥0,Al=0(0表示零矩阵)，则
l
l
l 次矩阵束 (Matrix Pencil) 是定义在复数域上的矩阵值函数
L
(
λ
)
=
∑
i
=
0
l
λ
i
A
i
L(\lambda) = \sum_{i=0}^{l} \lambda^i A_i
L(λ)=i=0∑lλiAi
特别的，线性束为
A
−
λ
B
,
λ
∈
C
(
o
r
R
)
,
A - \lambda B, \lambda \in \mathbb{C}(or\ \R),
A−λB,λ∈C(or R),
其中
A
,
B
A,B
A,B 为复(或实)矩阵，简记为
(
A
,
B
)
(A,B)
(A,B)。
一个束称为是正则 (regular) 的，如果至少存在一个
λ
\lambda
λ，使得
det
(
A
−
λ
B
)
≠
0
\det(A - \lambda B) \ne 0
det(A−λB)=0
矩阵束
(
A
,
B
)
(A,B)
(A,B) 的特征值为使
det
(
A
−
λ
B
)
=
0
\det(A - \lambda B)=0
det(A−λB)=0 的所有复数
λ
\lambda
λ。
特征值的集合称为束的谱 (spectum)，记为
σ
(
A
,
B
)
\sigma(A,B)
σ(A,B)。
另外，铅笔在无穷远处有一个或多个特征值如果
B
B
B 有一个或多个 0 特征值。
应用
矩阵束在数值线性代数 (numerical linear algebra) 中起着重要的作用。求一个铅笔的特征值问题称为推广的特征值问题 (generalized eigenvalue problem)。解决此问题的最流行的方法是QZ算法 (QZ algorithm), 它是使用QR算法 (QR algorithm)求解
B
(
−
1
)
A
x
=
λ
x
B^{(-1)} A x=\lambda x
B(−1)Ax=λx 的隐格式, 即不显式的形成矩阵
B
(
−
1
)
A
B^{(-1)}A
B(−1)A (当
B
B
B 奇异或近似奇异时, 无法转换或是一个病态问题)
由可换矩阵生成的束
若
A
B
=
B
A
AB=BA
AB=BA，则由
A
A
A 和
B
B
B 生成的束
(
A
,
B
)
(A, B)
(A,B), 必为下列三者之一(Marcus & Minc (1969), A survey of matrix theory and matrix inequalities, Courier Dover Publications)
(
A
,
B
)
(A, B)
(A,B) 中的矩阵均相似于对角矩阵
(
A
,
B
)
(A, B)
(A,B) 中的矩阵均不相似于对角矩阵
(
A
,
B
)
(A, B)
(A,B) 中只有一个矩阵相似于一个对角矩阵
Ref: Matrix Pencil 矩阵束-新浪博客